Главная – Журналы – Сибирский журнал вычислительной математики 2019 номер 4

Рассматривается трехмерная коэффициентная обратная задача для волнового уравнения (с потерями) в цилиндрической области. Данными для ее решения являются интегралы по времени (типа моментов) от измеряемого в цилиндрическом слое волнового поля. Предлагается экономичный алгоритм решения такой трехмерной задачи, основанный на быстром преобразовании Фурье. Алгоритм позволяет получать решение на сетках размера 512x512x512 за время порядка 1.4 часа на персональном компьютере средней производительности без распараллеливания вычислений. Приведены результаты численных экспериментов решения соответствующих модельных обратных задач.

Методами вычислительной гидродинамики моделируется трехмерное нестационарное периодическое течение крови в ксеногенных сосудистых биопротезах. Геометрия расчетной области строится по данным микротомографического сканирования биопротезов. Для задания переменного градиента давления, вызывающего нестационарное течение в протезе, используются персонально-специфические данные Допплер-эхографии течения крови конкретного пациента. Проводится сравнительный анализ полей скорости в областях течения, соответствующих трем реальным образцам биопротезов, имеющим множественные стенозы. В зонах стенозов и вне их анализируется распределение пристеночного напряжения сдвига, влияющего на факторы риска возникновения тромбоза в протезе. Предложен алгоритм прогнозирования гемодинамических эффектов, возникающих в сосудистых биопротезах, основанный на численном моделировании течения крови в них.

В данной работе на примере численного решения классической задачи распределения ресурсов демонстрируются: 1) вальрасов механизм нащупывания равновесия; 2) децентрализующая роль цен; 3) слейтеровская конструкция по ограничению цен (двойственных множителей); 4) новый механизм поиска равновесных цен, в котором цены устанавливаются не Центром (государством), а узлами (предприятиями). В отличие от экономической литературы, в которой, в основном, ограничиваются установлением факта сходимости исследуемых процедур, в работе приводится точный анализ скорости сходимости описываемых процедур поиска равновесия с учётом их прямо-двойственной природы. По сути, в работе предпринята попытка содержательно (экономически) проинтерпретировать следующие численные процедуры одновременного решения прямых и двойственных задач выпуклой оптимизации: метод дихотомии и метод проекции субградиента.

В работе рассматриваются вопросы решения вырожденной задачи Неймана для уравнения диффузии методом конечных элементов. Сначала выводится и исследуется расширенная обобщенная постановка задачи Неймана в пространстве Соболева H¹(Ω). Затем формулируется дискретный аналог этой задачи с использованием стандартных конечно-элементных аппроксимаций пространства H¹(Ω). Предлагается итерационный метод решения соответствующей СЛАУ. На примерах решения модельных задач обсуждаются численные свойства предложенного алгоритма.

Представлены два алгоритма эффективного вычисления функции Бесселя: быстрый алгоритм с растущей точностью вычисления и алгоритм вычисления для случая большого аргумента функции Бесселя.

Рассматривается метод повышения устойчивости треугольного разложения плотной положительно определенной матрицы c большим числом обусловленности методами Гаусса и Холецкого. Предлагается в стандартные вычислительные схемы ввести дополнения, заключающиеся в использовании неполного скалярного произведения двух векторов, которое формируется при отсечении младших разрядов суммы произведений двух чисел. Отсечение, выполняемое в процессе факторизации, приводит к увеличению диагональных элементов треугольных матриц на некоторое произвольное число и предотвращает появление очень маленьких чисел при разложении по Гауссу и отрицательного подкоренного выражения в методе Холецкого, уменьшая при этом число обусловленности исходной матрицы. Оценивается количество дополнительных операций, необходимых для получения точного решения. Приводятся результаты вычислительных экспериментов.

Ранее автором были получены дифференциальные законы сохранения для двумерного уравнения эйконала в неоднородной изотропной среде. Они представляют собой дивергентные тождества вида div F =0, векторное поле F выражается через решение уравнения эйконала (поле времен), показатель преломления (параметр уравнения) и их частные производные. Были также найдены равносильные законы сохранения (дивергентные тождества) для семейств лучей и фронтов в терминах их геометрических характеристик, т. е. был найден геометрический смысл полученных законов сохранения для двумерного уравнения эйконала. В данной статье представлены трехмерные аналоги этих результатов: дифференциальные законы сохранения для трехмерного уравнения эйконала и законы сохранения (дивергентные тождества вида div F =0) для семейств лучей и фронтов, где векторное поле F под знаком дивергенции выражается через классические геометрические характеристики кривых лучей: их орты Френе (единичные векторы касательной, главной нормали и бинормали), кривизну и кручение, либо через классические геометрические характеристики поверхностей фронтов: их нормаль, главные кривизны, главные направления, гауссову и среднюю кривизны. Все результаты получены на основе общих векторных и геометрических формул (дифференциальных законов сохранения и других формул), полученных автором для семейств произвольных гладких кривых, семейств произвольных гладких поверхностей и произвольных гладких векторных полей.

В данной статье рассматривается математическая модель микрогенератора нового типа, основанная на возбуждении колебаний подвижного электрода в микрозазоре электростатическими силами. Принцип работы микрогенератора аналогичен известной теории часов со спусковым ударным механизмом с тем отличием, что в уравнении движения формулировка правой части учитывает электростатическую природу импульсного воздействия. При этом, как показывает численный анализ, ограниченные колебания с ростом времени стремятся в фазовой плоскости к устойчивому предельному циклу и, таким образом, возникающие колебания устойчивы по отношению к внешним возмущениям. При исследовании периодических колебаний в зависимости от параметров модели используется решение краевой задачи для уравнения с разрывной правой частью, преобразованной к виду, позволяющему применить метод продолжения решения по параметру. Этим способом определена область в пространстве параметров модели, в которой существуют устойчивые предельные циклы.