К.К. Сабельфельд, Д.Д. Смирнов
"Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, Новосибирск, Россия karl@osmf.sscc.ru"
Ключевые слова: уравнение Ламе, представление Слободянского, стохастический проекционный алгоритм, метод фундаментальных решений
Страницы: 245-264
В работе предложен новый стохастический алгоритм решения системы уравнений Ламе на основе использования представления Слободянского, при этом восстановление граничных условий для входящих в него гармонических функций осуществляется неявно с помощью метода фундаментальных решений, а неизвестные коэффициенты в этом методе вычисляются с помощью стохастического проекционного метода. Приводятся результаты численных экспериментов для нескольких примеров двух- и трехмерных краевых задач, которые демонстрируют высокую эффективность предложенного метода.
Ц. Ван, Ф. Ху
Ключевые слова: многомерная модель с ошибками в переменных, метод наименьших полных квадратов, многоточечная серая модель, мониторинг оседания грунта
Страницы: 265-275
С целью решения проблемы, связанной с тем, что матрица коэффициентов многомерной модели c ошибками в переменных (ММОП) содержит постоянные столбцы, модель ММОП расширена до частичной многомерной модели с ошибками в переменных (Ч-ММОП) и предложен новый алгоритм модели Ч-ММОП, основанный на принципе частичной модели с ошибками в переменных (Ч-МОП) и непрямой корректировке. Алгоритм прост и легко реализуем. Для проверки используется пример преобразования координат, а результаты сравниваются с существующим алгоритмом модели ММОП; они показывают эффективность предлагаемого алгоритма. Наконец, алгоритм Ч-ММОП применяется к многоточечной серой модели (МСМ(1,N)) мониторинга оседания грунта. Результаты показывают, что модель Ч-ММОП, предлагаемая в данной статье, лучше учитывает влияние ошибок точек мониторинга, а результаты хорошо соответствуют реальной ситуации.
Х.Д. Икрамов1, А.М. Назари2 1Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Москва, Россия ikramov@cs.msu.su 2Университет Эрака, Эрак, Исламская Республика Иран a-nazari@araku.ac.ir
Ключевые слова: конгруэнтное преобразование, каноническая форма, коквадрат, юнитоидная матрица, канонические углы
Страницы: 277-286
Юнитоидом называется квадратная матрица, которая может быть приведена к диагональному виду посредством конгруэнтного преобразования. Среди различных диагональных форм юнитоида A имеется лишь одна (с точностью до порядка, принятого для главной диагонали), все ненулевые диагональные элементы которой суть числа с модулем 1. Она называется канонической формой матрицы A относительно конгруэнций, а аргументы ее ненулевых диагональных элементов называются каноническими углами этой матрицы. Если A не вырождена, то ее канонические углы тесно связаны с собственными значениями матрицы A-∗A, называемой коквадратом матрицы A. Хотя определение юнитоида напоминает понятие диагонализуемой матрицы в теории подобий, кажущаяся аналогия между этими двумя матричными классами обманчива. Мы показываем, что жорданова клетка Jn(1), которая в теории подобий рассматривается как антипод диагонализуемости, является юнитоидом. Более того, ее коквадрат Cn(1) имеет n различных унимодулярных собственных значений. Мы погружаем матрицу Jn(1) в семейство жордановых клеток Jn(λ) с параметром λ, меняющимся в диапазоне (0,2]. В некоторой точке, расположенной левее единицы, Jn(λ) перестает быть юнитоидной матрицей. Мы подробно обсуждаем этот момент в попытке понять, как может произойти подобная трансформация. Обсуждаются и аналогичные моменты, соответствующие меньшим значениям λ. Указаны некоторые примечательные факты, связанные с собственными значениями коквадратов и числами обусловленности этих значений.
Изучение распространения в пространстве и времени парниковых газов, а также оценка потоков с поверхности Земли этих газов с помощью системы усвоения данных представляет собой актуальную задачу мониторинга состояния окружающей среды. Одним из подходов к оценке потоков парниковых газов является подход, основанный на предположении, что потоки постоянны в заданной подобласти и на заданном временном интервале (порядка недели). Это обусловлено как необходимостью эффективной реализации алгоритма, так и свойствами используемых в таких задачах данных наблюдений. Современные задачи оценки потоков парниковых газов с поверхности Земли имеют большую размерность, поэтому обычно рассматривается вариант, в котором оцениваемой переменной являются потоки, а модель переноса и диффузии входит в оператор наблюдения. При этом возникает проблема использования больших окон усвоения, в пределах которых оцениваются значения потоков на нескольких временных интервалах. В работе рассматривается алгоритм оценки потоков по данным наблюдений из заданного временного интервала. Алгоритм является вариантом алгоритма ансамблевого сглаживания, широко применяемого в таких задачах. Показано, что при использовании окна усвоения, в котором происходит оценка значений потоков для нескольких временных интервалов, алгоритм может становиться неустойчивым, при этом нарушается условие наблюдаемости.
В статье рассматривается новый класс нелинейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра второго рода с ядром типа свертки. Используя теорему Шаудера о неподвижной точке, мы получаем некоторые условия, достаточные для существования и единственности решений. Кроме того, для получения приближенного решения предлагаемого уравнения Вольтерра используется метод Нистрема. Приведены численные примеры для подтверждения полученных результатов.
Дробные операторы переменного порядка могут использоваться в различных физических и биологических приложениях, где скорость изменения представляющей интерес величины может зависеть от пространства и/или времени. В данной статье мы предлагаем явную конечно-разностную аппроксимацию для пространственно-временного дробного волнового уравнения Рисса-Капуто переменного порядка с начальными и граничными условиями в конечной области. Предлагаемая схема является условно устойчивой и имеет глобальную ошибку усечения O(τ2+h2). Также представлен численный эксперимент для проверки эффективности предлагаемой схемы.
В работе исследуется технология расчета разностных задач с внутренними граничными условиями баланса потоков, построенными с помощью односторонних многоточечных разностных аналогов первых производных произвольного порядка точности. Предлагаемая технология одинаково подходит для любых типов решаемых дифференциальных уравнений и допускает однотипную реализацию при любых порядках точности. Она, в отличие от аппроксимаций, опирающихся на продолженную систему уравнений, не приводит к осложнениям при расщеплении многомерных задач на одномерные. Сформулированы достаточные условия разрешимости и устойчивости реализации алгоритмов методом прогонки для граничных условий произвольного порядка точности. Доказательство основано на приведении многоточечных граничных условий к виду, не нарушающему трехдиагональную структуру матриц, и установлении условий диагонального преобладания в преобразованных строках матрицы, соответствующих внешним и внутренним граничным условиям.
"С.Н. Скляр1, О.Б. Забинякова1,2"
"1Американский университет в Центральной Азии, Бишкек, Киргизия sklyar51@gmail.com; sklyar_s@auca.kg 2Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Научная станция Российской академии наук, Бишкек, Киргизия perah.92@inbox.ru; zabinyakova_o@auca.kg"
Ключевые слова: магнитотеллурическое зондирование, прямая одномерная задача, градиентная среда, модель Като-Кикучи, численное решение, адаптивная вычислительная сетка
Страницы: 349-364
В работе рассматривается имплементация алгоритма построения адаптивной вычислительной сетки в численное решение прямой одномерной задачи магнитотеллурического зондирования (задачи Тихонова-Каньяра) методом локальных интегральных уравнений, предложенным авторами ранее. Конструирование адаптивной вычислительной сетки основано на геометрических принципах, рассматривающих оптимизацию кусочно-постоянного интерполянта аппроксимируемой функции электрической проводимости среды. Проведены численные эксперименты для исследования и иллюстрации эффективности комбинированного метода. Апробация осуществлялась на модели Като -Кикучи с известным точным решением.
"Е.А. Берендеев1,2, И.В. Тимофеев1,2"
"1Новосибирский национальный исследовательский государственный университет (НГУ), Новосибирск, Россия beren@inp.nsk.su 2Институт ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН, Новосибирск, Россия"
Ключевые слова: параллельный алгоритм, метод частиц в ячейках, решение систем линейных алгебраических уравнений, высокопроизводительные вычисления
Страницы: 365-378
Статья посвящена вопросам построения параллельного алгоритма для расчёта динамики плазмы методом частиц в ячейках с использованием полунеявной схемы, сохраняющей энергию и заряд. Данная схема представляет собой двухстадийный предиктор-корректор, где на этапе предсказания используется полунеявный метод Лапенты, в котором сохраняющий энергию линейный ток не удовлетворяет локальному закону Гаусса, а на этапе коррекции токи, электромагнитные поля и скорости частиц подправляются так, чтобы разностные законы сохранения энергии и заряда выполнялись точно. Этот подход оказывается эффективным для моделирования разномасштабных явлений с достаточно большим временным шагом, однако является ресурсоёмким, поскольку требует не только решения двух систем линейных уравнений за шаг, но и перестроения всей матрицы системы. Авторами разработан матрично-операторный алгоритм для программной реализации этой схемы, позволяющий эффективно распараллелить вычисления, а также использовать различные библиотеки для работы с матрицами и решателями систем линейных уравнений. Для построения матрицы использован алгоритм построчного хранения с поиском элементов через хэш-таблицу, что уменьшает объём используемой памяти, число синхронизаций потоков и позволяет существенно ускорить вычисления. Рассматриваемый алгоритм успешно применён в коде Beren3D.
Ц. Ду, Т. Хоу
School of Mathematics and Statistics, Beihua University, Цзилинь, Китай dzrdmailbox@foxmail.com
Ключевые слова: уравнение Аллена-Кана, коэффициент мобильности, принцип максимума, энергетическая устойчивость, оценка ошибки
Страницы: 379-391
В данной работе предлагается линейная конечно-разностная схема второго порядка для уравнения Аллена-Кана с общей положительной мобильностью. Для временной дискретизации используется схема Кранка-Николсона (КН) и формула Тейлора, а для пространственной аппроксимации - метод центральных конечных разностей. Обсуждаются дискретный принцип максимума (ПМ), дискретная энергетическая устойчивость и оценка ошибки в L∞-норме. Представлены некоторые численные примеры для проверки теоретических результатов.
Наш сайт использует куки. Продолжая им пользоваться, вы соглашаетесь на обработку персональных данных в соответствии с политикой конфиденциальности. Подробнее