Главная – Журналы – Поиск по журналам

Рассматриваются итерационные процессы в подпространствах Крылова для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с разреженными матрицами высокого порядка, возникающих при сеточных аппроксимациях многомерных краевых задач. Предобуславливание СЛАУ осуществляется на основе единообразного комбинированного подхода, включающего декомпозицию областей и рекурсивное применение двухсеточного алгоритма, которые реализуются путём формирования блочно-трёхдиагональных алгебраических и сеточных структур, обращаемых с помощью неполной факторизации и диагональной компенсации. Для стилтьесовых систем исследуются вопросы устойчивости и скорости сходимости итераций. Обсуждаются вопросы распараллеливания и обобщения предложенных методов на широкие классы актуальных практических задач.

Рассматриваются алгоритмы решения ансамблей ОДУ с различными наборами входных данных, возникающих при моделировании химической кинетики в рамках схемы расщепления по физическим процессам для мультифизичных расчетов. Оценивается эффективность алгоритма, объединяющего кластеризацию ансамбля входных данных и оценку решения внутри кластера с использованием матрицы чувствительности, полученной с помощью решения сопряженных уравнений. Алгоритмы реализованы на основе согласованных в смысле дискретного тождества Лагранжа численных схем для решения систем ОДУ типа продукции-деструкции. Изучается вклад кластеризации и матрицы чувствительности в эффективность алгоритма. Результаты тестирования на сценарии моделирования химии атмосферы показывают, что алгоритм позволяет уменьшить время вычислений за счет приемлемого снижения точности.

Мы изучаем одномерную задачу бесконечной трубы, которая открыта справа, и на левом конце которой установлен поршень. Поскольку вычислительная область конечна, а область задачи бесконечна, на численный результат влияет наличие отраженной волны, появляющейся, когда ударная волна перемещается вправо и взаимодействует с правой границей. Таким образом, необходимо неотражающее граничное условие, чтобы максимально уменьшить влияние отраженной волны. В данной статье мы используем уравнения Эйлера в массовых лагранжевых координатах в качестве управляющих уравнений и метод конечных объемов для вычисления численного решения. Чтобы устранить отраженную волну, мы используем уравнение типа Бюргерса в дополнительной вычислительной области. Полученные нами численные результаты показывают, что численная ошибка значительно уменьшается.

В статье представлен двухсеточный метод для решения нелинейных дробных по времени диффузионных уравнений. Во-первых, строится полностью дискретная схема с использованием P²₀- P₁ смешанных конечных элементов и формулы L1 для пространственной и временной дискретизации соответственно. Во-вторых, анализируются устойчивость и погрешность полностью дискретной схемы. В-третьих, предлагается двухсеточный алгоритм, основанный на полностью дискретной схеме, и получены результаты анализа его устойчивости и ошибок. Наконец, приводятся некоторые численные примеры для подтверждения теоретических результатов.

Рассматривается некорректно поставленная задача локализации (определения положения) линий разрыва функции двух переменных при условии, что вне линий разрыва функция удовлетворяет условию Липшица, а в каждой точке на линии имеет разрыв первого рода. Для равномерной сетки с шагом τ предполагается, что в каждом узле известны средние значения на квадрате со стороной τ от возмущенной функции, и возмущенная функция приближает точную функцию в пространстве L₂(R²). Уровень возмущения δ считается известным. Предлагается новый подход к построению регуляризирующих алгоритмов локализации линий разрыва на основе сепарации исходных зашумленных данных. На классе функций с кусочно-линейными линиями разрыва построены новые алгоритмы и доказана теорема сходимости с оценками точности аппроксимации.

Описывается алгоритм морфинга, пополнивший технологию построения трехмерных структурированных сеток, предназначенную для численного решения дифференциальных уравнений, моделирующих вихревые процессы многокомпонентной гидродинамики. Алгоритм морфинга предназначен для построения структурированных сеток особой структуры в объемах, полученных деформацией объемов вращения телами, образованными поверхностями вращения с параллельными осями. Алгоритм разработан в рамках вариационного подхода построения оптимальных сеток и является нестационарным: на каждой итерации меняется (деформируется) форма области и сетка для нее, затем сетка оптимизируется в соответствии с критериями оптимальности, т.е. близости сетки к равномерной и ортогональной. Итерации повторяются до тех пор, пока деформация объема не достигнет требуемой формы. Алгоритм позволяет строить сетки в областях очень сложной геометрии, при этом не нужно задавать границу области сложной формы, достаточно описать объем вращения, деформирующий объем и указать параметры деформации. Приводятся примеры расчетов сеток.

В процессе приложения динамических нагрузок лёд демонстрирует сложное нелинейное поведение, зависящее от многих факторов, в том числе и от скорости деформирования. В прикладных задачах актуальными являются низкоскоростные столкновения, в которых лёд проявляет как вязкие, так и хрупкие свойства. Для отражения специфики локального разрушения льда в настоящей работе предлагается составная модель, выделяющая во льду гидростатическое ядро и упругопластическую зону, оставляя материал вдали от области удара упругим. Дополнительно учитывается объёмное трещинообразование. Верификация модели производится на основе сравнения результатов расчётов с лабораторным экспериментом со сферическим индентором. В результате численных расчётов удаётся воспроизвести явления, наблюдаемые в экспериментах. Реконструированы нелинейные волны, отражена волновая природа трещинообразования, получены характерные картины разрушения льда. Рассчитанные деформационные кривые подтверждают возможность качественного описания поведения льда на основной стадии удара.

Хорошо известно, что если диагонализуемые матрицы A и B коммутируют, то они могут быть приведены к диагональному виду одним и тем же преобразованием подобия. Мы устанавливаем аналог этого утверждения, относящийся к невырожденным юнитоидным матрицам и преобразованиям эрмитовой конгруэнции. Юнитоидными называются матрицы, приводимые к диагональному виду посредством конгруэнций.

Во многих практических ситуациях необходимо вычислять внешнюю оценку для области значений полинома  от нескольких переменных f(x₁,…,x_n) на заданных интервалах [₁, ₁],...,[_n, _n] с определённой относительной погрешностью ε > 0. Известно, что эта задача является NP-трудной для всех ε < 1/8, но не было известно, является ли задача NP-трудной для других значений ε. В нашей статье даётся полный ответ на этот вопрос, а именно, мы доказываем, что рассматриваемая задача является NP-трудной для всех ε ≤ 1 и полиномиально разрешима для всех ε > 1.

Уравнения Эмдена-Фаулера широко используются в математическом и физическом моделировании. Они описывают явления в различных областях, включая астрофизику, квантовую механику и нелинейную динамику. Область их применения - от моделирования теплового поведения звезд до распределения компонентов химических реакций. Ученые постоянно ищут новые методы для более эффективного и точного решения уравнений Эмдена-Фаулера (ЭФ) ввиду их универсальности и разнообразия. В данной статье представлен новый подход к решению обобщенных уравнений ЭФ с учетом граничных условий с использованием вейвлетов Лежандра. Сначала мы преобразуем задачу в эквивалентные интегральные уравнения Фредгольма. Затем используем коллокационный подход вейвлетов Лежандра и итерационный метод Ньютона-Рафсона для решения получаемых в результате интегральных уравнений. Формулировка предлагаемого алгоритма дополняется анализом его сходимости и ошибок. Мы исследуем точность метода путем вычисления численного решения и ошибок с помощью различных примеров. Мы сравниваем наши численные результаты с точным решением и решениями, полученными с помощью методов, описанных в литературе, таких как метод вейвлетов Хаара и метод оптимального гомотопического анализа. С помощью коллокационного метода вейвлетов Лежандра может быть получена улучшенная точность при меньшем числе точек коллокации, что делает его использование более выгодным.