Главная – Журналы – Сибирский журнал вычислительной математики 2019 номер 3

В статье рассматриваются системы стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) с первым интегралом. Точное решение таких систем с вероятностью 1 находится на гладком многообразии. Однако, при численном решении, из-за вычислительной погрешности моделируемые траектории не принадлежат многообразию, а лежат в некоторой его окрестности. Основной целью статьи является построение модифицированных численных методов решения СДУ, сохраняющих первый интеграл. В статье для трех систем СДУ с первым интегралом найдены точные решения, на этих системах проведена апробация предложенной модификации.

Представлено описание метода моделирования движения тел в вязкой несжимаемой жидкости с применением технологии счета на сетках с перекрытиями (технология «химера»). Уравнения, описывающие течение вязкой несжимаемой жидкости, аппроксимируются методом конечных объемов на произвольной неструктурированной сетке. Их итерационное решение осуществляется с применением алгоритма SIMPLE. В статье приведено описание основных уравнений в случае движения сетки. Описаны особенности реализации условий на границах сеточных областей, устанавливаемых при построении интерполяционного шаблона. Продемонстрирован способ преодоления численной неустойчивости при использовании модели твердого тела. Описана особенность учета сил гравитации в случае наличия многофазных сред. Представлены результаты решения задачи о движении цилиндра в жидкости, задачи о падении шара в жидкость и задачи о затоплении модели судна.

В статье обсуждаются подходы к построению точных решений уравнений мелкой воды для задачи о колебаниях жидкости в акватории параболической формы (вплоть до вырожденного случая). Для поиска этих решений делается ряд предположений относительно формы их представления, учёта вращения Земли и донного трения. Окончательные результаты получаются путём решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом свободные поверхности являются поверхностями I или II порядка. Приводятся условия, при которых построенные решения являются ограниченными и допускают локализацию в пространстве. Результаты используются для верификации численного алгоритма метода крупных частиц, рассматриваются вопросы эффективности использования построенных решений в задачах верификации численных алгоритмов моделирования наката волн на берег.

Присутствие нелокального члена в нелокальных задачах нарушает разреженность матриц Якоби при численном решении задачи с использованием метода конечных элементов и метода Ньютона-Рафсона. В результате вычисления занимают больше времени и пространства в противоположность локальным задачам. Чтобы преодолеть эту трудность, в данной статье выполнен анализ линеаризованного метода конечных элементов Тета-Галеркина для зависящей от времени нелокальной задачи с нелинейностью типа Кирхгофа. Тем самым мы рассматриваем временную дискретизацию на основе θ-схемы временных шагов с θ ∈ [1/2,1). Получены оценки ошибки для стандартной схемы Кранка-Николсона (θ = 1/2), смещенной схемы Кранка-Николсона (θ = 1/2 + δ, где δ - временной шаг) и общего случая (θ ≠ 1/2 + kδ, где k = 0,1). И, наконец, представлены результаты численного моделирования, подтверждающие теорию.

Вводится понятие управляемости непараметрического статистического критерия. Сравниваются мощности одного нового управляемого непараметрического статистического критерия и критерия Вилкоксона-Манна-Уитни в случаях с экспоненциальным распределением.

Разработана иерархия минимальных математических моделей динамики системы p53-Mdm2-microRNA, основанных на использовании дифференциальных уравнений с запаздывающими аргументами, скрывающими сложные взаимодействия в сигнальной системе белка p53. Рассматриваются два вида взаимодействия p53 с микроРНК: прямая и обратная положительные связи. Обратная связь microRNA-p53 осуществляется за счет отрицательного воздействия микроРНК на белок Mdm2, который сам является отрицательным регулятором p53. Для аппроксимации прямого положительного воздействия p53 на микроРНК используется линейная функция или представление типа Гольдбетера-Кошланда. Выполнено сопоставление численных решений с данными медико-биологических исследований, которое подтверждает адекватность предложенных моделей и результатов численного анализа. Особое внимание уделено анализу положительной обратной связи p53 и микроРНК. Показано, что можно пренебрегать связью Mdm2-microRNA, по крайней мере, для ряда наиболее изученных семейств микроРНК, связанных прямой положительной связью с p53. Вместе с тем, те из микроРНК, которые являются одновременно и важным отрицательным регулятором Mdm2, способны оказать самое существенное влияние на функционирование всей системы p53-Mdm2-microRNA. Это свидетельствует о регуляторной функции микроРНК по отношению к p53, что согласуется с известными представлениями о роли микроРНК в биологических процессах. Результаты численных экспериментов указывают на то, что такие микроРНК могут рассматриваться как действенный фактор противораковой терапии, позволяющий инициировать апоптоз раковых клеток с дефектами p53.

В статье приведено многопараметрическое асимптотическое описание поля напряжений у вершины центральной трещины в линейно-упругой изотропной пластине, находящейся под действием 1) нормального растягивающего напряжения, 2) поперечного сдвига, 3) в условиях смешанного деформирования в полном диапазоне смешанных форм нагружения, изменяющихся от нормального отрыва до поперечного сдвига. Построено многопараметрическое асимптотическое разложение компонент тензора напряжений, содержащее высшие приближения, в котором аналитически определены все масштабные (амплитудные) множители - коэффициенты полного асимптотического разложения М. Уильямса - как функции длины трещины и параметров нагружения. С помощью построенного разложения и полученных формул для коэффициентов разложения можно удерживать любое наперед заданное число слагаемых в асимптотических представлениях механических полей у вершины трещин в пластине. Проведен анализ числа слагаемых, которое необходимо удерживать на различных расстояниях от кончика дефекта. Вычислены углы распространения трещины в условиях смешанного нагружения с помощью многопараметрического разложения поля напряжений посредством 1) критерия максимального тангенциального напряжения, 2) критерия минимума плотности энергии упругой деформации.

Известно, что двойственное представление задач (через основную и сопряжённую в смысле Лагранжа функции) позволяет сформулировать эффективную версию теории малых возмущений, служащую основой метода последовательных приближений в теории решения обратных задач. Если по предварительным прогнозам решение обратной задачи (например, структура интересующей среды) принадлежит некоторому множеству A, то выбрав в нём подходящий (пробный, опорный) элемент a₀ в качестве невозмущённого и применив теорию возмущений, можно приближённо описать поведение решения прямой задачи в этой области и найти подмножество A₀, наилучшим образом согласующееся с данными измерений. Однако с повышением требований к точности область A₀ применимости первого приближения быстро сужается, расширение же её добавлением высших членов разложения усложняет процедуру решения. По этой причине в ряде работ были предприняты поиски непертурбативных подходов. К их числу относится и метод вариационного интерполирования (ВИ-метод), в котором в качестве основной («невозмущённой») задачи предлагается выбирать не одну, а несколько опорных задач a₁, a₂, …, a_n , построить из них линейную суперпозицию основных и сопряжённых функций и определить коэффициенты из условия стационарности формы, в которой представлен искомый функционал. В этой статье показано применение ВИ-метода к решению нескольких обратных задач астрофизики космических лучей в простейшей постановке.