Как происходит потеря юнитоидной матрицей свойства юнитоидности?
Х.Д. Икрамов1, А.М. Назари2
1Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Москва, Россия
ikramov@cs.msu.su
2Университет Эрака, Эрак, Исламская Республика Иран
a-nazari@araku.ac.ir
Ключевые слова: конгруэнтное преобразование, каноническая форма, коквадрат, юнитоидная матрица, канонические углы
Страницы: 277-286
Аннотация
Юнитоидом называется квадратная матрица, которая может быть приведена к диагональному виду посредством конгруэнтного преобразования. Среди различных диагональных форм юнитоида A имеется лишь одна (с точностью до порядка, принятого для главной диагонали), все ненулевые диагональные элементы которой суть числа с модулем 1. Она называется канонической формой матрицы A относительно конгруэнций, а аргументы ее ненулевых диагональных элементов называются каноническими углами этой матрицы. Если A не вырождена, то ее канонические углы тесно связаны с собственными значениями матрицы A-∗A, называемой коквадратом матрицы A. Хотя определение юнитоида напоминает понятие диагонализуемой матрицы в теории подобий, кажущаяся аналогия между этими двумя матричными классами обманчива. Мы показываем, что жорданова клетка Jn(1), которая в теории подобий рассматривается как антипод диагонализуемости, является юнитоидом. Более того, ее коквадрат Cn(1) имеет n различных унимодулярных собственных значений. Мы погружаем матрицу Jn(1) в семейство жордановых клеток Jn(λ) с параметром λ, меняющимся в диапазоне (0,2]. В некоторой точке, расположенной левее единицы, Jn(λ) перестает быть юнитоидной матрицей. Мы подробно обсуждаем этот момент в попытке понять, как может произойти подобная трансформация. Обсуждаются и аналогичные моменты, соответствующие меньшим значениям λ. Указаны некоторые примечательные факты, связанные с собственными значениями коквадратов и числами обусловленности этих значений.
DOI: 10.15372/SJNM20240302 |
