Главная – Журналы – Сибирский журнал вычислительной математики 2026 номер 3

Английская версия этой статьи печатается в журнале “Numerical Analysis and Applications” № 3, Vol. 19, 2026 Пусть нужно проверить, конгруэнтны ли заданные квадратные матрицы A и B. Если A и B невырождены, то к проверке можно привлечь такие полезные инструменты, как коквадраты обеих матриц. Как свести случай вырожденных A и B к невырожденному случаю? Сергейчук и Хорн в 2006 г. предложили метод, который посредством конечной последовательности конгруэнций приводит заданную вырожденную матрицу A к виду прямой суммы невырожденной подматрицы и одной или нескольких нильпотентных жордановых клеток. Эти клетки составляют сингулярную часть канонической формы матрицы A относительно конгруэнций. Их удаление из A и дает искомый способ замены входной вырожденной матрицы невырожденной подматрицей меньшего порядка. Метод Сергейчука-Хорна не был реализован авторами как работающая процедура. В данной статье описана наша реализация этого метода в форме алгоритма для рациональных матриц или же комплексных матриц, элементами которых являются рациональные гауссовы числа. Алгоритм использует безошибочную арифметику рациональных чисел, предоставляемую пользователям вычислительной среды Matlab. Работа алгоритма проиллюстрирована двумя численными примерами.

Английская версия этой статьи печатается в журнале “Numerical Analysis and Applications” № 3, Vol. 19, 2026.  В данной работе мы изучаем численный метод аппроксимации решения со слабой сингулярностью в начальный момент времени нелинейных дробных интегро-дифференциальных уравнений. Для этого в качестве базиса мы используем полиномы Лежандра дробного порядка и сводим заданную задачу к конечномерной задаче c использованием спектрального метода коллокации. Мы теоретически докажем экспоненциальную скорость сходимости аппроксимации функции полиномами Лежандра дробного порядка и на этой основе выполним анализ ошибки предлагаемого метода. Приведено несколько численных примеров, показывающих скорость сходимости и эффективность предлагаемого метода.

Английская версия этой статьи печатается в журнале “Numerical Analysis and Applications” № 3, Vol. 19, 2026. В данной статье мы представляем класс нелинейных дробных уравнений Лейна-Эмдена, включающих дробную производную Джумари с граничными условиями Неймана. Для вычисления приближенных численных решений мы предлагаем эффективную модификацию вариационно-итерационного метода (ВИМ), называемого дробным вариационно-итерационным методом (ДрВИМ). Примечательно, что в предельном случае наша задача сводится к классическому уравнению Лейна-Эмдена. Мы показываем эффективность нашего подхода с помощью графических представлений решений, полученных с использованием производных Джумари и Капуто. Кроме того, мы замечаем, что когда порядок производной приближается к 1, графики дробного решения постепенно сходятся к классическому решению, демонстрируя точность и надежность нашего метода.

Английская версия этой статьи печатается в журнале “Numerical Analysis and Applications” № 3, Vol. 19, 2026. В данной работе представлен новый алгоритм коллокации Фурье с быстрым сжатием для уравнений диффузии высокой размерности. Новый алгоритм основан на разреженном и быстром преобразовании Фурье высокой размерности и алгоритме поиска совпадений с сжатием. Вычислительная сложность предлагаемого алгоритма пропорциональна d², где d - размерность области дифференциальных уравнений в частных производных. Оценивается ошибка приближенного решения и приводятся некоторые численные эксперименты.

Английская версия этой статьи печатается в журнале “Numerical Analysis and Applications” № 3, Vol. 19, 2026.  Проблема сохранения свойства гиперболичности уравнений при их численном решении является фундаментальной проблемой вычислительной математики. При наличии релятивистских эффектов и магнитного поля проблема значительно усложняется. Построение численных методов решения задач механики сплошной среды, позволяющих вместе с решением уравнений контролировать гиперболичность системы уравнений, является важной задачей, сформулированной Сергеем Константиновичем Годуновым. В статье предлагается один подход к построению схемы Годунова с использованием аппарата формулировки уравнений в виде симметрически гиперболических систем. Важным свойством такой записи, помимо контроля гиперболичности, является использование всех волн при решении задачи Римана, что позволяет воспроизводить тангенциальные разрывы с качеством схем Рое и HLLC. Использование подхода на основе разделения работы сил давления и адвективного переноса в рамках задачи Римана позволило устранить проблему “звуковой точки”, которая встречается в схемах типа Рое. Разработанная авторская схема была верифицирована на классических тестах о распаде разрыва в одномерной и двумерной постановках.

Английская версия этой статьи печатается в журнале “Numerical Analysis and Applications” № 3, Vol. 19, 2026.  Используя идею Огиты и Айсимы [1] и метод Ульма [2], мы разработали неточный метод типа Ульма, основанный на умножении матриц, для обратных задач с сингулярными значениями, который позволяет избежать недостатков при решении системы линейных уравнений на каждой итерации алгоритма из [3]. Таким образом, он представляется более устойчивым и требует меньшего числа вычислений. При условии, что данные сингулярные значения различны, алгоритм имеет квадратичную сходимость в смысле радикальной сходимости. Более того, численные эксперименты, описанные в последнем пункте, показывают, что новый метод лучше некоторых известных алгоритмов.

Английская версия этой статьи печатается в журнале “Numerical Analysis and Applications” № 3, Vol. 19, 2026.  Представлены результаты диссипативного и дисперсионного анализа линеаризованной версии разностной схемы, предназначенной для решения нелинейно-дисперсионных уравнений мелкой воды и являющейся модификацией схемы Русанова третьего порядка аппроксимации уравнений газовой динамики. Получены условия устойчивости, формулы изменения фазы и фазовой ошибки, а также изучено поведение коэффициента затухания гармоник. При исследовании обнаружены ранее неизвестные свойства схемы Русанова. В частности, как для исходной, так и модифицированной схем выявлен высокий порядок малости фазовой ошибки на длинных волнах, получены значения схемных параметров, обеспечивающие монотонность коэффициента затухания гармоник, сильное подавление коротковолновых гармоник и малое изменение их фазы.

Английская версия этой статьи печатается в журнале “Numerical Analysis and Applications” № 3, Vol. 19, 2026 С быстрым развитием технологии искусственного интеллекта автоматическое решение задач плоской геометрии стало популярной областью исследований. Для улучшения эффекта автоматического решения математических задач плоской геометрии построена эффективная детерминистическая модель прогноза путем объединения мощной способности трансформера выделять признаки, обрабатывать временные ряды сети долгой краткосрочной памяти и генерировать на основе двунаправленных кодирующих представлений трансформера. Результаты эксперимента по абляции показывают, что предлагаемая модель дает наилучшие результаты точности и оценки, равные 92.5% и 0.91% соответственно. Время вывода составляет 0.45 секунды, что значительно лучше, чем у других моделей. Кроме того, точность этой модели в извлечении текстовых связей, детектировании геометрических элементов и графической аннотации составляет 97.88%, 93.68% и 95.36% соответственно, что значительно лучше, чем у других сравнительных моделей. Результаты анализа эффектов применения показывают, что предлагаемая модель имеет низкое среднее количество шагов и наивысшую точность 96.21% по мере увеличения количества теорем. Модель, предлагаемая в данном исследовании, имеет более высокую надежность и устойчивость при решении задач с различным количеством шагов, давая новый подход к автоматическому решению задач плоской геометрии.